OPERACIONES CON CONJUNTOS

“Un conjunto es una consideración simultanea de entes” (Bertrand Russell)

“Un conjunto es Varios que pueden considerarse Uno” (Cantor)

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Pertenencia e Inclusión
Pertenencia

La condición que debe existir para que un elemento x pertenezca a un conjunto C, x∈C, es:

⟨( x∈C =: (x⨂[C↓]= x) )⟩

siendo ⨂ la operación general de intersección de dos expresiones:

⟨( x⨂y = (x ← x=y → θ) )⟩

Y la contraria (no pertenencia):

⟨( x∉C =: (x⨂[C↓]= θ) )⟩

siendo (∉ ≡ ∈').

El símbolo ∈, una derivación de la letra griega ε (epsilon), fue introducido por Peano en 1888.

Ejemplos:

1. (C = {a b c})
(a∈C)? // ev. α
(d∈C)? // ev. θ
({a b}∈C)? // ev. θ
   
   
2. (C = {a {b c} d})
(a∈C)? // ev. α
({b c}∈C)? // ev. α

Propiedades:

1. La condición de que C sea un conjunto es ({C↓} = C).
   
   
2. El conjunto vacío {} (o ∅)no pertenece a ningún conjunto, a menos que el conjunto lo incluya explícitamente.
   
   
3. Un conjunto puede incluirse a sí mismo. Por ejemplo, (C =: {a b C}).
   
   Si un conjunto C se incluye a sí mismo, se cumple: (C/(C = θ) ≠  C).
   En el caso del ejemplo, se tiene que ({a b} ≠ {a b C}).

Inclusión

⟨( C⊂D =: {[[C↓]⨂[D↓]]} = C )⟩

Y la condición contraria es:

⟨( (C ⊂' D) =: {[[C↓]⨂[D↓]]} = θ )⟩

Por definición:

⟨( C⊆D =: (C⊂D ∨ C=D) )⟩

Propiedades:

1. ⟨( (C⊆D ∧ D⊆C) → C=D )⟩
2. ⟨( (C⊂D ∧ D⊂E) → C⊂E )⟩
3. ⟨( (a∈B ∧ B⊂C) → A∈ )⟩

Ejemplos:

1. (C = {a b c})
({a b}⊂C)? // ev. α
(a⊂C)? // ev. θ
   
   
2. (C = {a {b c} d})
({a d}⊂C)? // ev. α
(b⊂C)? // ev. θ
({b c}⊂C)? // ev. θ

Unión, Intersección y Diferencia de Conjuntos
Unión de conjuntos

Esta operación ya fue definida, en general, como la derivada “Unión”, pero en este caso se especifican que los dos parámetros deben ser conjuntos.

⟨( (C∪D = {C↓ D↓}) ← ({C↓} = C) ← ({D↓} = D) )⟩

Esta definición se puede simplificar mediante la expresión genérica

⟨( C/conj =: {C↓} = C) )⟩

que indica la condición de que C sea un conjunto. La nueva definición es:

⟨( (C∪D = {C↓ D↓}) ← C/conj ← D/conj )⟩

Los elementos repetidos desaparecen automáticamente. Ejemplos:

1. {a b c}∪{d c} // ev. {a b c d}
2. {1 2}∪{2 3}∪{3 4} // ev. {1 2 3 4}
3. {u v}∪{} // ev. {u v}

Propiedades:

1. ⟨( C∪C = C )⟩
2. ⟨( C∪∅ = C )⟩

Intersección de conjuntos

Se define también con la condición de que los dos parámetros sean conjuntos:

⟨( (C∩D = {[[C↓]⨂[D↓]]} ← C/conj ← D/conj )⟩

Ejemplos:

1. {a b c}∩{a b c} // ev. {a b c}
2. {a b c}∩{a b} // ev. {a b}
3. {a b c}∩{a} // ev. {a}
4. {a b c}∩{} // ev. {}
5. a∩{a b c} // ev. {a}

Propiedades:

1. ⟨( C∩C = C )⟩
   
   
2. ⟨( C∩∅ = ∅ )⟩
   
   
3. ⟨( (C∩D = D) ↔ C⊂D)⟩

Diferencia entre dos conjuntos

Se define como la unión contraria. La unión contraria a la izquierda y a la derecha son equivalentes.

⟨( (C ∪' D)) = {x ← x∈C ← x∉D} )⟩

Aquí no utilizamos el símbolo "−" porque ya tiene una significado aritmético (resta). Evitamos así el polimorfismo con sobrecarga [ver Lenguaje MENTAL – Principios – Polimorfismo].

Ejemplos:

1. ({a b c d} ∪' {c d}) // ev. {a b}
2. ({a b c d} ∪' {u v}) // ev. {a b c d}
3. ({a b c d} ∪' {}) // ev. {a b c d}

Conjunto universal y complementario

El conjunto universal U es un metaconjunto: el conjunto de todos los posibles conjuntos pero excluyéndose a sí mismo.

El conjunto complementario de un conjunto C, denotado por CC, se define así:

⟨( (CC =: U ∪' C)) )⟩

Se verifican la propiedades:

1. ⟨( (C ∪ CC) = U) )⟩
2. ⟨( (C ∪ U) = U) )⟩
3. ⟨( (C ∩ U) = C) )⟩
4. (U ⊂ Ω)
5. (∅C = U)
6. (UC = ∅)

Conjuntos vacíos de orden superior

{} // conjunto vacío
{{}} // conjunto vacío de orden 2
{{{}}} // conjunto vacío de orden 3

(C =: {C})/(C := {}) // conjunto vacío de orden infinito, representa a {{{...}}}


Producto Cartesiano de Conjuntos
Definición

El producto cartesiano de n conjuntos C1 … Cn es el conjunto de todas las posibles secuencias formadas por los elementos de los conjuntos, de tal manera que el elemento i de cada secuencia sea un elemento del conjunto Ci.

Para dos conjuntos C1 y C2, la definición descriptiva es:

⟨( C1×C2 = {⟨ (x y) ← (x∈C1 ∧ y∈C2) ⟩} )⟩

Y la definición operativa es:

⟨( C1×C2 = { [([C1↓] [C2↓])] } )⟩

Para n conjuntos C1, … , Cn, la definición recursiva es:

⟨( C1×…×Cn = ({[[C1↓] ∪ [C2×…×Cn↓]]}) ← n>2 →' C1×C2 )⟩

Aquí utilizamos el rango operativo del producto cartesiano. Ejemplo:

C1={a b} C2={u v} C3={x y}
C1×C2×C3 = {[[a b] ∪ [C2×C3↓]]} =
{[[a b] ∪ [{u v}×{x y}↓]]} =
{[[a b] ∪ [(u x) (u y (v x) (v y)]]} =
{(a u x) (a u y) (a v x) (a v y)
(b u x) (b u y) (b v x) (b v y)}


Ejemplos

1. (C1 = {a b})
(C2 = {u v})
(C1 × C2) // ev. { [([a b] [u v])] } ev. {(a u) (a v) (b u) (b v) }
   
   
2. (C1 = {a b})
(C2 = {u v})
(C3 = {w})
(C1 × C2 × C3) // ev. { [([a b] [u v] [w])] } {(a u w) (a v w) (b u w) (b v w) }

Conjunto Potencia
Definición

El conjunto potencia de un conjunto C es el conjunto de todos los subconjuntos que pueden formarse con dicho conjunto. Se describe así:

⟨( Pot(C) = {⟨ D ← D/conj ← D⊂C ⟩} )⟩

Operativamente, el conjunto potencia se puede definir así:

⟨( Pot(C) = { [ { [C↓]«(C#) } ] } )⟩

Es decir, se generan todas las permutaciones con repetición, cada una dentro de un conjunto. Los elementos repetidos desaparecen y al final se obtienen todos los subconjuntos.


Ejemplo

1. Para C={a b c} se tiene:
   
   { { a a a } { a a b } { a a c } { a b a } { a b b }
{ a b c } { a c a } { a c b } { a c c } { b a a }
{ b a b } { b a c } { b b a } { b b b } { b b c }
{ b c a } { b c b } { b c c } { c a a } { c a b }
{ c a c } { c b a } { c b b } { c b c } { c c a }
{ c c b } { c c c } } ev.
   
   { { a } { a b } { a c } { a b } { a b } { a b c }
{ a c } { a c b } { a c }
{ b a } { b a } { b a c }
{ b a } { b } { b c } { b c a } { b c } { b c }
{ c a } { c a b } { c a } { c b a }
{ c b } { c b } { c a } { c b } { c } } ev.
   
   { { a } { a b } { a c } { a b c } { b } { b c } { c } }
   
   
2. Pot{a} // ev. {{a}}
   
   
3. Pot{a b} // ev. {{a} {b} {a b}}

Número de elementos

Como por la definición no se incluye el conjunto vacío, la longitud del conjunto potencia es (2∧n – 1), siendo n la longitud del conjunto:

⟨( (Pot(C))# = (2∧(C# – 1) )⟩

En particular, cuando C es la secuencia de los n primeros números naturales, se cumple la propiedad:

⟨( (Pot( ( 1…n ) ))# = 2∧(n−1) )⟩


Potencias de orden superior (superpotencias)

Superpotencia de nivel 2 (potencia de potencia): Pot(Pot(x))

Superpotencia de nivel 3: Pot(Pot(Pot(x)))

Superpotencia de nivel n (definición recursiva):

⟨( Spot(n C) = (Pot(Spot(n−1 C)) ← n>1 →' Pot(C)) )⟩

Una definición, más simple y compacta es:

⟨( Spot(n C) = (Pot↔n C)Δ) )⟩

siendo Δ la derivada asociatividad monádica (en este caso, por la derecha).


Analogías entre Lógica y Conjuntos

• Pertenencia de un elemento a un conjunto – Metaexpresiones existenciales.
  
  ⟨( (x∈A) ↔ ((x∈A)? = α) )⟩
⟨( (x∉A) ↔ ((x∈A)? = θ) )⟩
  
  
• Inclusión – Implicación lógica:
  
  ⟨( A⊂B ↔ (x∈A → x∈B) )⟩
  
  
• Unión e intersección de conjuntos – Disyunción y conjunción lógicas:
  
  ⟨( x∈(A∪B) ↔ (x∈A ∨ x∈A) )⟩
⟨( x∈(A∩B) ↔ (x∈A ∧ x∈A) )⟩
  
  
• Conjunto complementario – Negación lógica:
  
  ⟨( A∪AC = U )⟩ (x? ∨ (x?)' = α)
⟨( A∩AC = ∅ )⟩ (x? ∧ (x?)' = θ)
  
  
• Leyes conmutativas.
  
  ⟨( x∨y ≡ y∨x )⟩ ⟨( x∧y ≡ y∧x )⟩
⟨( A∪B ≡ B∪A )⟩ ⟨( A∩B ≡ B∩A )⟩
  
  
• Leyes distributivas.
  
  ⟨( x∨(y∧z) ≡ (x∨y ∧ x∨z) )⟩ ⟨( A∪(B∩C) ≡ (A∪B ∩ A∪C) )⟩

⟨( x∧(y∨z) ≡ (x∧y ∨ x∧z) )⟩ ⟨( A∩(B∪C) ≡ (A∩B ∪ A∩C) )⟩
  
  
• Leyes de De Morgan.
  
  ⟨( (x∧y)' ≡ (x' ∨ y') )⟩ ⟨( (A∩B)' ≡ (A' ∪ B') )⟩

⟨( (x∨y)' ≡ (x' ∧ y') )⟩ ⟨( (A∪B)' ≡ (A' ∩ B') )⟩

Resumen de analogías

Lógica	Conjuntos
→	⊂
∨	∪
∧	∩
¬	C
θ	∅
α	∅'

Expresiones Declarativas
Pertenencia declarativa

La expresión x∈{a b c} indica que x es un elemento del conjunto {a b c} y que, por lo tanto, es a, b o c.

La expresión ∈{a b c} indica un elemento del conjunto {a b c}, es decir, que es a, b o c. No debe confundirse con a∨b∨c, que es una expresión existencial, cuyo resultado es α o θ.


Inclusión declarativa

La expresión x⊂{a b c} indica que x es un subconjunto propio de {a b c}, es decir, que x es uno de los siguientes conjuntos: {a}, {b}, {c}, {a b}, {a c}, {b c}. Es decir:

x∈{{a} {b} {c} {a b} {a c} {b c}}

La expresión ⊂{a b c} indica un subconjunto propio de {a b c}, es decir, que es uno de los siguientes conjuntos: {a}, {b}, {c}, {a b}, {a c}, {b c}. Es decir:

∈{{a} {b} {c} {a b} {a c} {b c}}


Operaciones con expresiones declarativas

Es posible operar con expresiones declarativas. Por ejemplo:

3*(∈{a b c}) = (∈{3*a 3*b 3*c})

(⊂{a b c})∪{u v} =
∈{{a u v} {b u v} {c u v} {a b u v} {a c u v} {b c u v}}